Οι Μιγαδικοί αριθμοί και οι Παράγωγοι αποτελούν δύο μεγάλα κεφάλαια των Μαθηματικών που θα μπορούσαν να μας απασχολήσουν στα μαθήματα του Ομίλου κατά το δέυτερο τετράμηνο - παράλληλα βέβαια με κάποιες εργασίες με πολύ ενδιαφέροντα θέματα Αστρονομίας και Πληροφορικής.
Είναι και τα δύο πολύ σπουδαία και θα μπορούσαν να αποτελέσουν μια εξαιρετική προετοιμασία για τις Μαθηματικά της Γ' Λυκείου. Επειδή όμως είναι αδύνατο να διδαχθούν και τα δύο στα πλαίσια του Ομίλου, θα θέλαμε να ψηφίσετε με ποιό από τα δύο επιθυμείτε να ασχοληθούμε. Ακολουθεί μια μικρή εισαγωγή και στο τέλος του post υπάρχει και το δημοψήφισμα.
Είναι και τα δύο πολύ σπουδαία και θα μπορούσαν να αποτελέσουν μια εξαιρετική προετοιμασία για τις Μαθηματικά της Γ' Λυκείου. Επειδή όμως είναι αδύνατο να διδαχθούν και τα δύο στα πλαίσια του Ομίλου, θα θέλαμε να ψηφίσετε με ποιό από τα δύο επιθυμείτε να ασχοληθούμε. Ακολουθεί μια μικρή εισαγωγή και στο τέλος του post υπάρχει και το δημοψήφισμα.
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Στα μαθηματικά, οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μία επέκταση του συνόλου των πραγματικών αριθμών με την προσθήκη του στοιχείου i, που λέγεται φανταστική μονάδα, και έχει την ιδιότητα:
i^2=-1
Κάθε μιγαδικός αριθμός μπορεί να γραφτεί με τη μορφή α + βi, όπου τα α και β είναι πραγματικοί αριθμοί και λέγονται πραγματικό μέρος και φανταστικό μέρος του μιγαδικού αριθμού, αντίστοιχα.
Για παράδειγμα, ο 3 + 2i είναι ένας μιγαδικός, με πραγματικό μέρος 3 και φανταστικό μέρος 2.
Για τους μιγαδικούς αριθμούς ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης,της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης, όπως και στους πραγματικούς αριθμούς. Στην ορολογία των μαθηματικών, αυτό σημαίνει ότι το σύνολο των μιγαδικών είναι σώμα.
Η βασική διαφορά των μιγαδικών αριθμών με τους πραγματικούς είναι η ύπαρξη του στοιχείου i και των πολλαπλασίων του, που όταν υψωθούν στο τετράγωνο δίνουν αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς. Επιπλέον, στους μιγαδικούς δεν ορίζεται η διάταξη, δηλαδή δεν έχει έννοια να συγκρίνουμε δύο μιγαδικούς ώστε να πούμε ότι ένας μιγαδικός αριθμός είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος από κάποιον άλλον μιγαδικό αριθμό.
Οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν, μεταξύ άλλων, σημαντικές εφαρμογές στη λύση διαφορικών εξισώσεων αλλά και στη μελέτη διάφορων φυσικών προβλημάτων οπτικής, κυματικής, κβαντομηχανικής και ηλεκτρονικής.
ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ: Το θέμα των μιγαδικών αποτελεί συνήθως το 25% της βαθμολογίας στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης στις Πανελλαδικές εξετάσεις της Γ' Λυκείου.
Στα μαθηματικά, οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μία επέκταση του συνόλου των πραγματικών αριθμών με την προσθήκη του στοιχείου i, που λέγεται φανταστική μονάδα, και έχει την ιδιότητα:
i^2=-1
Κάθε μιγαδικός αριθμός μπορεί να γραφτεί με τη μορφή α + βi, όπου τα α και β είναι πραγματικοί αριθμοί και λέγονται πραγματικό μέρος και φανταστικό μέρος του μιγαδικού αριθμού, αντίστοιχα.
Για παράδειγμα, ο 3 + 2i είναι ένας μιγαδικός, με πραγματικό μέρος 3 και φανταστικό μέρος 2.
Για τους μιγαδικούς αριθμούς ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης,της αφαίρεσης, του πολλαπλασιασμού και της διαίρεσης, όπως και στους πραγματικούς αριθμούς. Στην ορολογία των μαθηματικών, αυτό σημαίνει ότι το σύνολο των μιγαδικών είναι σώμα.
Η βασική διαφορά των μιγαδικών αριθμών με τους πραγματικούς είναι η ύπαρξη του στοιχείου i και των πολλαπλασίων του, που όταν υψωθούν στο τετράγωνο δίνουν αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς. Επιπλέον, στους μιγαδικούς δεν ορίζεται η διάταξη, δηλαδή δεν έχει έννοια να συγκρίνουμε δύο μιγαδικούς ώστε να πούμε ότι ένας μιγαδικός αριθμός είναι μεγαλύτερος ή μικρότερος από κάποιον άλλον μιγαδικό αριθμό.
Οι μιγαδικοί αριθμοί έχουν, μεταξύ άλλων, σημαντικές εφαρμογές στη λύση διαφορικών εξισώσεων αλλά και στη μελέτη διάφορων φυσικών προβλημάτων οπτικής, κυματικής, κβαντομηχανικής και ηλεκτρονικής.
ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ: Το θέμα των μιγαδικών αποτελεί συνήθως το 25% της βαθμολογίας στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης στις Πανελλαδικές εξετάσεις της Γ' Λυκείου.
ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ
Στη μαθηματική ανάλυση, η παράγωγος είναι ένα μέτρο για το πώς αλλάζει μια συνάρτηση όταν αλλάζουν οι τιμές της εισόδου της. Χονδρικά, θα μπορούσε κανείς να θεωρήσει ότι η παράγωγος μας δείχνει πόσο αλλάζει μια ποσότητα, ως συνέπεια της μεταβολής σε μία άλλη ποσότητα. Για παράδειγμα, η παράγωγος της θέσης ή της απόστασης ενός αυτοκινήτου, για κάποια στιγμή του χρόνου, είναι η στιγμιαία ταχύτητα με την οποία το αυτοκίνητο ταξιδεύει εκείνη τη στιγμή.
Για μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, η παράγωγος σε ένα σημείο ισούται με την κλίση της εφαπτόμενης γραμμής στο γράφημα της συνάρτησης σ' αυτό το σημείο.
Η διαδικασία της εύρεσης της παραγώγου λέγεται παραγώγιση ή διαφόριση (οι δύο όροι είναι συνώνυμοι). Όταν η παράγωγος μιας συνάρτησης σε σημείο x0 του πεδίου ορισμού της υπάρχει και είναι μοναδική η συνάρτηση καλείται παραγωγίσιμη ή διαφορίσιμη στο x0. Το θεμελιακό θεώρημα του απειροστικού λογισμού διατυπώνει ότι η παραγώγιση είναι η αντίστροφη διαδικασία της ολοκλήρωσης.
ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ: Τα θέματα που σχετίζονται με τις παραγώγους αποτελούν συνήθως ένα πολύ μεγάλο μέρος της βαθμολογίας στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης στις Πανελλαδικές εξετάσεις της Γ' Λυκείου.
Στη μαθηματική ανάλυση, η παράγωγος είναι ένα μέτρο για το πώς αλλάζει μια συνάρτηση όταν αλλάζουν οι τιμές της εισόδου της. Χονδρικά, θα μπορούσε κανείς να θεωρήσει ότι η παράγωγος μας δείχνει πόσο αλλάζει μια ποσότητα, ως συνέπεια της μεταβολής σε μία άλλη ποσότητα. Για παράδειγμα, η παράγωγος της θέσης ή της απόστασης ενός αυτοκινήτου, για κάποια στιγμή του χρόνου, είναι η στιγμιαία ταχύτητα με την οποία το αυτοκίνητο ταξιδεύει εκείνη τη στιγμή.
Για μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, η παράγωγος σε ένα σημείο ισούται με την κλίση της εφαπτόμενης γραμμής στο γράφημα της συνάρτησης σ' αυτό το σημείο.
Η διαδικασία της εύρεσης της παραγώγου λέγεται παραγώγιση ή διαφόριση (οι δύο όροι είναι συνώνυμοι). Όταν η παράγωγος μιας συνάρτησης σε σημείο x0 του πεδίου ορισμού της υπάρχει και είναι μοναδική η συνάρτηση καλείται παραγωγίσιμη ή διαφορίσιμη στο x0. Το θεμελιακό θεώρημα του απειροστικού λογισμού διατυπώνει ότι η παραγώγιση είναι η αντίστροφη διαδικασία της ολοκλήρωσης.
ΣΗΜΑΝΤΙΚΟ: Τα θέματα που σχετίζονται με τις παραγώγους αποτελούν συνήθως ένα πολύ μεγάλο μέρος της βαθμολογίας στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης στις Πανελλαδικές εξετάσεις της Γ' Λυκείου.
Εδώ μπορείτε να ψηφίσετε!